Зміст
У математиці послідовність - це будь-який рядок чисел, розташованих у порядку збільшення чи зменшення. Послідовність стає геометричною послідовністю, коли ви можете отримати кожне число шляхом множення попереднього числа на загальний множник. Наприклад, серії 1, 2, 4, 8, 16. . . це геометрична послідовність із загальним коефіцієнтом 2. Якщо помножити будь-яке число у ряді на 2, ви отримаєте наступне число. Навпаки, послідовності 2, 3, 5, 8, 14, 22. . . не є геометричним, оскільки немає загального коефіцієнта між числами. Геометрична послідовність може мати дробовий загальний множник, і в цьому випадку кожне послідовне число менше, ніж попереднє. 1, 1/2, 1/4, 1/8. . . є прикладом. Його загальний фактор - 1/2.
Той факт, що геометрична послідовність має загальний фактор, дозволяє зробити дві речі. Перший - це обчислити будь-який випадковий елемент у послідовності (який математики люблять називати "n-м" елементом), а другий - знайти суму геометричної послідовності до n-го елемента. Підсумовуючи послідовність, ставлячи знак плюс між кожною парою термінів, ви перетворюєте послідовність у геометричний ряд.
Пошук n-го елемента в геометричній серії
Загалом, ви можете представити будь-який геометричний ряд таким чином:
a + ar + ar2 + ар3 + ар4 . . .
де "a" - перший член у ряді, а "r" - загальний фактор. Щоб перевірити це, розглянемо ряд, у яких a = 1 і r = 2. Отримуємо 1 + 2 + 4 + 8 + 16. . . це працює!
Встановивши це, тепер можна отримати формулу для n-го члена в послідовності (xн).
хн = ар(n-1)
Експонент є n - 1, а не n, щоб дозволити перший член у послідовності записати як ar0, що дорівнює "а".
Перевірте це, обчисливши 4-й доданок у прикладі серії.
х4 = (1) • 23 = 8.
Обчислення суми геометричної послідовності
Якщо ви хочете підсумовувати розбіжну послідовність, яка є загальною нормою, що перевищує 1 або менше -1, ви можете це зробити лише до кінцевої кількості доданків. Однак можна обчислити суму нескінченної конвергентної послідовності, яка є єдиною із загальним співвідношенням між 1 і -1.
Щоб розробити формулу геометричної суми, почніть з розгляду того, що ви робите. Ви шукаєте загальну кількість наступних серій доповнень:
a + ar + ar2 + ар3 +. . . ар(n-1)
Кожен доданок у ряді - арк, а k переходить від 0 до n-1. Формула суми рядів використовує знак великої літери - ∑ - що означає додавання всіх доданків від (k = 0) до (k = n - 1).
∑arк = а
Щоб перевірити це, розглянемо суму перших 4 доданків геометричного ряду, що починається з 1 і має спільний множник 2. У наведеній вище формулі a = 1, r = 2 і n = 4. Підключивши ці значення, ви отримати:
1 • = 15
Це легко перевірити, додавши цифри в серії самостійно. Насправді, коли вам потрібна сума геометричного ряду, його зазвичай простіше додати числа самостійно, коли є лише кілька доданків. Якщо ряд має велику кількість доданків, то набагато простіше використовувати формулу геометричної суми.