Зміст
У математиці іноді виникає необхідність довести, залежать чи незалежні функції одна від одної в лінійному сенсі. Якщо у вас є дві функції, лінійно залежні, графік рівнянь цих функцій призводить до точок, які перетинаються. Функції з незалежними рівняннями не перетинаються під час графіка. Одним із методів визначення, залежність чи незалежність функцій є обчислення Вронського для функцій.
Що таке Вронський?
Вронський з двох і більше функцій - це те, що відомо як визначник, що є спеціальною функцією, яка використовується для порівняння математичних об'єктів і доведення певних фактів про них. У випадку Вронського, детермінант використовується для доведення залежності або незалежності між двома або більше лінійними функціями.
Матриця Вронського
Щоб обчислити Вронського для лінійних функцій, функції потрібно вирішити на одне значення в матриці, що містить і функції, і їх похідні. Прикладом цього є W (f, g) (t) = | ff((тт)) гг((тт)) |, яка забезпечує Вронського для двох функцій (f і g), які розв’язуються на одне значення, що перевищує нуль (t); ви можете бачити дві функції f (t) і g (t) у верхньому рядку матриці, а похідні f (t) і g (t) в нижньому рядку. Зауважте, що Вронського можна використовувати і для більших наборів. Якщо, наприклад, ви тестуєте три функції з Вронським, то ви можете заповнити матрицю з функціями та похідними f (t), g (t) та h (t).
Розв’язування Вронського
Коли у вас є функції, розташовані в матриці, перекресліть множення кожної функції на похідну іншої функції і відніміть перше значення від другої. Для наведеного вище прикладу це дає вам W (f, g) (t) = f (t) g (t) - g (t) f (t). Якщо остаточна відповідь дорівнює нулю, це показує, що дві функції залежать. Якщо відповідь щось інше, ніж нуль, функції незалежні.
Приклад Вронського
Для кращого уявлення про те, як це працює, припустимо, що f (t) = x + 3 і g (t) = x - 2. Використовуючи значення t = 1, ви можете вирішити функції як f (1) = 4 і g (1) = -1. Оскільки це основні лінійні функції з нахилом 1, похідні як f (t), так і g (t) рівні 1. Перехресне множення ваших значень дає W (f, g) (1) = (4 + 1) - (-1 + 1), що дає кінцевий результат 5. Хоча і лінійні функції мають однаковий нахил, вони незалежні, оскільки їхні точки не перетинаються. Якби f (t) дав результат -1 замість 4, Вронський дав би результат нуля замість того, щоб вказати на залежність.