Зміст
Темпи змін проявляються в науці, особливо у фізиці, через такі величини, як швидкість та прискорення. Похідні описують швидкість зміни однієї величини щодо іншої математично, але їх обчислення іноді може бути складним, і вам може бути представлений графік, а не функція у формі рівняння. Якщо вам представлений графік кривої і вам доведеться знайти похідне від нього, ви, можливо, не будете настільки точними, як з рівнянням, але ви можете легко зробити суцільну оцінку.
TL; DR (Занадто довго; Не читав)
Виберіть точку на графіку, щоб знайти значення похідної у.
Намалюйте пряму дотичну до кривої графіка в цій точці.
Візьміть нахил цього рядка, щоб знайти значення похідної у вибраній точці на графіку.
Що таке похідне?
Поза абстрактним налаштуванням диференціювання рівняння ви можете трохи заплутатися у тому, що насправді є похідною. В алгебрі похідна функції - це рівняння, яке повідомляє вам значення "нахилу" функції в будь-якій точці. Іншими словами, це говорить про те, наскільки зміниться одна кількість, враховуючи невелику зміну іншої. На графіку градієнт або нахил рядка вказує, на скільки залежить залежна змінна (розміщена на у-ось) змінюється незалежною змінною (на х-ось).
Для прямолінійних графіків ви визначаєте (постійну) швидкість зміни, обчислюючи нахил графіка. Зв'язки, описані кривими, не так просто вирішити, але принцип, що похідна означає лише нахил (у цій конкретній точці), все ще залишається в силі.
Для відношень, описаних кривими, похідна приймає різне значення у кожній точці по кривій. Щоб оцінити похідну графіка, вам потрібно вибрати точку, у якій слід покласти похідну. Наприклад, якщо у вас є графік, який показує пройдену відстань у часі, на прямолінійному графіку нахил повідомляє вам постійну швидкість. Для швидкостей, що змінюються з часом, графік буде кривою, але пряма, яка просто торкається кривої в одній точці (лінія, дотична до кривої), представляє швидкість зміни в цій конкретній точці.
Виберіть місце, на якому потрібно знати похідну. Використовуючи приклад пройденої відстані та часу, виберіть час, за який потрібно знати швидкість подорожі. Якщо вам потрібно знати швидкість у кількох різних точках, ви можете пройти цей процес для кожної окремої точки. Якщо ви хочете дізнатися швидкість через 15 секунд після початку руху, виберіть місце на кривій за 15 секунд на х-ось.
Намалюйте лінію, дотичну до кривої в точці, яка вас зацікавила. Не витрачайте час на це, оскільки це найважливіша та найскладніша частина процесу. Ваша оцінка буде кращою, якщо ви намалюєте більш точну дотичну лінію. Тримайте лінійку до точки на кривій і відрегулюйте її орієнтацію, щоб лінія, яку ви малюєте, буде тільки торкніться кривої в одній точці, яка вас цікавить.
Намалюйте лінію, поки графік дозволить. Переконайтеся, що ви можете легко прочитати два значення для обох х і у координати, одна біля початку вашої лінії та одна біля кінця. Не потрібно малювати довгу лінію (технічно підходить будь-яка пряма лінія), але довші лінії, як правило, простіше виміряти нахил.
Знайдіть два місця на своїй лінії та запишіть про це х і у координати для них. Наприклад, уявіть свою дотичну лінію як дві помітні плями на х = 1, у = 3 і х = 10, у = 30, яку можна назвати точкою 1 і точкою 2. Використання символів х1 і у1 представляти координати першої точки і х2 і у2 представляти координати другої точки, схилу м задається:
м = (у2 - у1) ÷ (х2 – х1)
Це говорить вам про похідну кривої в точці, де лінія торкається кривої. У прикладі х1 = 1, х2 = 10, у1 = 3 і у2 = 30, так:
м = (30 – 3) ÷ (10 – 1)
= 27 ÷ 9
= 3
У прикладі таким результатом буде швидкість у вибраній точці. Так що, якщо х-ось вимірювали в секундах і у-ось вимірювалася в метрах, результат означав би, що розглянутий транспортний засіб їхав зі швидкістю 3 метри в секунду. Незалежно від конкретної кількості, яку ви обчислюєте, процес оцінки похідної однаковий.