Зміст
Інтегруючі функції - це одне з основних застосувань обчислення. Іноді це просто, як у:
F (x) = ∫ (x3 + 8) dx
У порівняно складному прикладі цього типу можна використовувати версію основної формули для інтеграції невизначених інтегралів:
∫ (хн + А) dx = x(n + 1)/ (n + 1) + An + C,
де А і С - константи.
Таким чином, для цього прикладу,
∫ x3 + 8 = х4/ 4 + 8х + С.
Інтеграція основних функцій квадратного кореня
На поверхні інтегрувати функцію квадратного кореня незручно. Наприклад, вас можуть стримувати:
F (x) = ∫ √dx
Але ви можете виразити квадратний корінь як показник, 1/2:
√ x3 = х3(1/2) = х(3/2)
Отже, інтеграл стає:
∫ (х3/2 + 2x - 7) dx
до якої ви можете застосувати звичайну формулу зверху:
= х(5/2)/ (5/2) + 2 (х2/ 2) - 7х
= (2/5) х(5/2) + х2 - 7х
Інтеграція більш складних функцій квадратного кореня
Іноді під радикальним знаком у вас може бути більше одного терміна, як у цьому прикладі:
F (x) = ∫ dx
Ви можете використовувати u-заміну для продовження. Тут ви встановлюєте u, рівне кількості в знаменнику:
u = √ (x - 3)
Розв’яжіть це для x, зіставивши обидві сторони і віднімаючи:
у2 = х - 3
x = u2 + 3
Це дозволяє отримати dx з точки зору u, взявши похідну x:
dx = (2u) du
Підстановка назад у вихідний інтеграл дає
F (x) = ∫ (u2 + 3 + 1) / уду
= ∫du
= ∫ (2у2 + 8) ду
Тепер ви можете інтегрувати це за допомогою основної формули та висловлюючи u через x:
∫ (2у2 + 8) du = (2/3) u3 + 8u + C
= (2/3) 3 + 8 + С
= (2/3) (x - 3)(3/2) + 8 (х - 3)(1/2) + С