Зміст
Три методи, які найчастіше використовуються для розв’язування систем рівнянь, - це матриці заміщення, усунення та доповнені матриці. Заміна та усунення - це прості методи, які дозволяють ефективно вирішити більшість систем двох рівнянь за кілька прямих кроків. Метод доповнених матриць вимагає більше кроків, але його застосування поширюється на більшу різноманітність систем.
Заміна
Заміна - це метод розв’язування систем рівнянь шляхом видалення всіх, крім однієї зі змінних, в одному з рівнянь, а потім розв’язування цього рівняння. Це досягається шляхом виділення іншої змінної в рівнянні, а потім заміщення значень цих змінних в інше інше рівняння. Наприклад, щоб розв’язати систему рівнянь x + y = 4, 2x - 3y = 3, ізолюйте змінну x у першому рівнянні, щоб отримати x = 4 - y, а потім замініть це значення y на друге рівняння, щоб отримати 2 (4 - y) - 3y = 3. Це рівняння спрощується до -5y = -5, або y = 1. Підключіть це значення до другого рівняння, щоб знайти значення x: x + 1 = 4 або x = 3.
Усунення
Елімінація - це ще один спосіб вирішення систем рівнянь шляхом переписання одного з рівнянь у термінах лише однієї змінної. Метод усунення досягає цього шляхом додавання або віднімання рівнянь одне від одного, щоб скасувати одну із змінних. Наприклад, додавання рівнянь x + 2y = 3 і 2x - 2y = 3 дає нове рівняння, 3x = 6 (зауважимо, що y умови скасовані). Потім система вирішується за допомогою тих же методів, що і для заміни. Якщо неможливо скасувати змінні в рівняннях, потрібно буде помножити все рівняння на коефіцієнт, щоб зрівняти коефіцієнти.
Доповнена матриця
Доповнені матриці також можна використовувати для розв’язування систем рівнянь. Розширена матриця складається з рядків для кожного рівняння, стовпців для кожної змінної та доповненого стовпця, який містить постійний додаток з іншого боку рівняння. Наприклад, розширена матриця для системи рівнянь 2x + y = 4, 2x - y = 0 є, ...].
Визначення рішення
Наступний крок передбачає використання елементарних операцій рядків, таких як множення чи ділення рядка на постійну, що не дорівнює нулю, і додавання чи віднімання рядків. Мета цих операцій - перетворити матрицю в ешелонну форму рядків, в якій перший ненульовий запис у кожному рядку є 1, записи над і під цим записом - це всі нулі, а перший ненульовий запис для кожного рядок завжди праворуч від усіх таких записів у рядках над ним. Рядко-ешелонна форма для вищевказаної матриці становить, ...]. Значення першої змінної задається першим рядком (1x + 0y = 1 або x = 1). Значення другої змінної задається другим рядком (0x + 1y = 2 або y = 2).
Програми
Заміна та усунення - більш прості методи розв’язування рівнянь і використовуються набагато частіше, ніж розширені матриці в базовій алгебрі. Метод заміщення особливо корисний, коли одна з змінних вже виділена в одному з рівнянь. Метод усунення корисний, коли коефіцієнт однієї зі змінних однаковий (або його від'ємний еквівалент) у всіх рівняннях. Основна перевага доповнених матриць полягає в тому, що її можна використовувати для розв’язування систем трьох або більше рівнянь у ситуаціях, коли підміна і усунення є нездійсненними або неможливими.