Зміст
- Як писати про Центр тяжкості
- Як обчислити CG трикутника
- Формула центру тяжкості прямокутника
- Центр рівняння тяжкості
- Прийоми пошуку центру тяжкості
Перш ніж обговорити центр ваги, давайте припустимо кілька параметрів. Перше, що ви маєте справу з об'єктом, який знаходиться на поверхні Землі, а не десь у просторі. І два, що об'єкт досить малий - скажімо, це не космічний корабель, припаркований на Землі, який чекає зльоту.Після того, як всі ці позаземні впливи будуть ліквідовані, ви опинитеся в чудовому положенні, щоб обчислити центр ваги для геометричних об'єктів, використовуючи відносно просту формулу - і насправді через ці умови, що тільки встановлені, ви будете використовувати ту саму формулу, щоб знайти центр ваги щоб знайти центр маси.
Як писати про Центр тяжкості
Центр ваги в двовимірній площині зазвичай позначають координатами (xcg, уcg) або іноді змінними х і у з бруском над ними. Також термін "центр ваги" іноді скорочується до cg.
Як обчислити CG трикутника
Ваша книга з математики чи фізики часто матиме в ній графіки для визначення центру балансу певних фігур. Але для деяких загальних геометричних фігур ви можете використовувати відповідну формулу центру ваги, щоб знайти, що формує центр ваги.
Для трикутників центр ваги сидить у точці, де всі три медіани перетинаються. Якщо почати з однієї вершини трикутника, а потім провести пряму лінію до середини іншої сторони, це одна медіана. Зробіть те саме для двох інших вершин, і точка, де всі три медіани перетинаються, - це центр ваги трикутників.
І звичайно, є формула для цього. Якщо координати трикутників центра ваги дорівнюють (хcg, уcg), ви знаходите його координати таким чином:
хcg = (х1 + х2 + х3) ÷ 3
уcg = (у1 + у2 + у3) ÷ 3
Де (х1, у1), (х2, у2) і (х3, у3) - координати трикутників трьох вершин. Ви можете вибрати, якій вершині присвоєно число.
Формула центру тяжкості прямокутника
Ви помітили, що, щоб знайти центр ваги для трикутника, ви просто середнє значення x-координат, потім середнє значення y-координат і використовуєте два результати як координати для вашого центру ваги?
Щоб знайти центр ваги прямокутника, ви робите точно те саме. Але щоб зробити ваші обчислення ще простішими, припустимо, що прямокутник прямокутно орієнтований на декартову координатну площину (тому його не встановлено під кутом), і що його нижня ліва вершина знаходиться у початку графіка. У такому випадку знайти (xcg, уcg) для прямокутника все, що вам потрібно обчислити, це:
хcg = ширина ÷ 2
уcg = висота ÷ 2
Якщо ви не хочете перенести свій прямокутник на початок координатної площини або якщо з будь-якої причини його не зовсім квадрат до осей координат, ви можете зіткнутися з цією трохи страшнішою, але все-таки ефективною формулою для середнього оцінювання всіх його координат x щоб знайти значення xcg, і середнє значення всіх координат у, щоб знайти значення уcg:
хcg = (х1 + х2 + х3 + х4) ÷ 4
уcg = (у1 + у2 + у3 + у4) ÷ 4
Центр рівняння тяжкості
Що робити, якщо вам потрібно обчислити центр ваги для форми, яка відповідає всім згаданим припущенням (в основному, ви не намагаєтеся займатися буквальною ракетною наукою, знаходячи центр ваги для об'єктів з космосу), але він не потрапляє ні в один з щойно згадані категорії чи в діаграмах на звороті вашої книги? Потім ви можете поділити свою фігуру на більш звичні форми і скористатися такими рівняннями, щоб знайти їх колективний центр ваги:
хcg = (а1х1 + а2х2 +. . . + анхн) ÷ (а1 + а2 +. . . + ан)
уcg = (а1у1 + а2у2 +. . . + анун) ÷ (а1 + а2 +. . . + ан)
Або кажучи іншим способом, xcg дорівнює площі секції в 1 раз більше її розташування на осі x, додається до площі секції в 2 рази більше її місця розташування і так далі, поки ви не додасте місце, розміщене за часом розташування всіх ділянок; потім поділіть всю цю суму на загальну площу всіх розділів. Потім зробіть те ж саме для у.
З: Як знайти площу кожного розділу? Розділення складної або неправильної форми на більш звичні багатокутники дозволяє використовувати стандартизовані формули для пошуку площі. Наприклад, якщо ви розділили цю форму на прямокутні шматки, ви можете використовувати формулу довжиною × шириною, щоб знайти площу кожного шматка.
З: Яке "розташування" кожного розділу? Розташування кожної секції є відповідною координатою від цих ділянок центру ваги. Тож якщо ти хочеш у2 (місце для сегменту 2), вам фактично потрібно вказати координату у для сегмента центру ваги. Знову-таки, саме тому ви підрозділяєте дивовижну форму об'єкта на більш звичні форми, оскільки ви можете використовувати вже обговорені формули, щоб знайти кожну фігуру центру ваги, а потім дістати відповідну координату (-и).
З: Де моя форма йде на координатній площині? Ви можете вибрати, де ваша форма сидить на координатній площині - просто майте на увазі, що центр ваги відповідей буде стосовно тієї ж точки відліку. Найпростіше розмістити об’єкт у першому квадранті графіку, його нижній край проти осі x, а лівий край проти осі y, щоб усі значення x- і y були позитивними, але також були достатньо малими, щоб бути керований.
Прийоми пошуку центру тяжкості
Якщо ви маєте справу з одним об'єктом, інтуїція та трохи логіки - це часом все, що вам потрібно, щоб знайти його центр ваги. Наприклад, якщо ви розглядаєте плоский диск, то центр ваги буде центром диска. У циліндрі - його середина на осі циліндрів. Для прямокутника (або квадрата) його точка, де сходяться діагональні лінії.
Можливо, ви помітили тут закономірність: Якщо у відповідного об’єкта є лінія симетрії, центр ваги буде на цій лінії. І якщо він має кілька осей симетрії, центр ваги буде там, де ці осі перетинаються.
Нарешті, якщо ви намагаєтеся знайти центр ваги для справді складного об'єкта, у вас є два варіанти: або вибийте найкращі інтеграли числення (див. Ресурси для потрійного інтеграла, який представляє центр ваги для нерівномірної маси) або введіть свої дані у спеціально побудований калькулятор центральної ваги. (Див. Ресурси на прикладі калькулятора центру тяжкості для радіокерованих літаків.)