Дробові експоненти: правила множення та ділення

Зміст

• TL; DR (Занадто довго; Не читав)
• Що таке дробові показники?
• Правила експоненції дробу: множення дробових експонентів з однаковою базою
• Правила експоненції дробу: поділ дробових експонентів з однаковою базою
• Множення та поділ дробових експонентів на різні основи

Навчання розбиратись із експонентами є невід’ємною частиною будь-якої математичної освіти, але, на щастя, правила їх множення та ділення відповідають правилам для нефракційних експонентів. Перший крок до розуміння того, як поводитися з дробовими експонентами, - це простеження того, що саме вони є, а потім ви можете ознайомитись із способами комбінування експонентів, коли вони множать чи ділять, і вони мають однакову базу. Якщо коротко, ви додаєте експоненти разом при множенні і віднімаєте один від іншого при діленні за умови, що вони мають однакову основу.

TL; DR (Занадто довго; Не читав)

Помножте терміни з експонентами, використовуючи загальне правило:

х^а + х^б = х^{(а + б)}

І розділіть умови з експонентами, використовуючи правило:

х^а ÷ х^б = х^{(а – б)}

Ці правила працюють з будь-яким виразом замість а і б, навіть фракції.

Що таке дробові показники?

Дробові експоненти забезпечують компактний і корисний спосіб вираження коренів квадратних, кубичних та вищих. Знаменник експонента вказує, який корінь основного числа означає термін. У такий термін, як х^а, ти телефонуєш х основа і а показник. Отже, показник дробу говорить вам:

х^1/2 = √х

Знаменник двох на експоненті говорить вам, що ви берете квадратний корінь х у цьому виразі. Це ж основне правило стосується вищих коренів:

х^1/3 = ∛х

І

х^1/4 = ⁴√x

Ця закономірність продовжується. Для конкретного прикладу:

9^1/2 = √9 = 3

І

8^1/3 = ∛8 = 2

Правила експоненції дробу: множення дробових експонентів з однаковою базою

Помножте терміни з дробовими показниками (за умови, що вони мають однакову основу), додаючи разом експоненти. Наприклад:

х^1/3 × х^1/3 × х^1/3 = х ^{(1/3 + 1/3 + 1/3)}

= х¹ = х

З тих пір х^1/3 означає "корінь куба х, "Має ідеальний сенс, що це помножене на себе два рази дає результат х. Ви також можете натрапити на подібні приклади х^1/3 × х^1/3, але ви розбираєтеся з ними точно так само:

х^1/3 × х^1/3 = х ^{(1/3 + 1/3)}

= х^2/3

Той факт, що вираз у кінці все ще є дробовим показником, не має значення для процесу. Це можна спростити, якщо це зауважити х^2/3 = (х^1/3)² = ∛х². З таким виразом, не важливо спочатку взяти корінь чи силу. Цей приклад ілюструє, як обчислити наступне:

8^1/3 + 8^1/3 = 8^2/3

= ∛8²

Оскільки кубічний корінь з 8 легко вирішити, вирішуйте це наступним чином:

∛8² = 2² = 4

Отже, це означає:

8^1/3 + 8^1/3 = 4

Ви також можете зустріти продукти дробових експонатів з різними числами в знаменниках дробів, і ви можете додати ці експоненти так само, як і інші дроби. Наприклад:

х^1/4 × х^1/2 = х^{(1/4 + 1/2)}

= х^{(1/4 + 2/4)}

= х^3/4

Це все конкретні вирази загального правила множення двох виразів на експоненти:

х^а + х^б = х^{(а + б)}

Правила експоненції дробу: поділ дробових експонентів з однаковою базою

Візьміть підрозділи двох чисел з дробовими показниками, віднімаючи експонент, який ви ділите (дільник), на той, який ви ділите (дивіденд). Наприклад:

х^1/2 ÷ х^1/2 = х^{(1/2 – 1/2)}

= х⁰ = 1

Це має сенс, оскільки будь-яке число, розділене само собою, дорівнює одному, і це узгоджується зі стандартним результатом того, що будь-яке число, підняте на потужність 0, дорівнює одиниці. Наступний приклад використовує числа як бази та різні показники:

16^1/2 ÷ 16^1/4 = 16^{(1/2 – 1/4)}

= 16^{(2/4 – 1/4)}

= 16^1/4

= 2

Що ви також можете побачити, якщо зазначити, що 16^1/2 = 4 і 16^1/4 = 2.

Як і у випадку множення, ви також можете закінчитись дробовими показниками, у чисельнику яке число, відмінне від одного, але ви попрацюєте з ними аналогічно.

Вони просто виражають загальне правило для поділу експонентів:

х^а ÷ х^б = х^{(а – б)}

Множення та поділ дробових експонентів на різні основи

Якщо основи на термінах різні, не існує простого способу множення чи ділення експонентів. У цих випадках просто обчисліть значення окремих термінів і потім виконайте необхідну операцію. Єдиний виняток - якщо показник однаковий, і в цьому випадку ви можете їх помножити або розділити наступним чином:

х⁴ × у⁴ = (xy)⁴

х⁴ ÷ у⁴ = (х ÷ у)⁴