Зміст
Біноміальний розподіл описує змінну X, якщо 1) існує фіксоване число н спостереження змінної; 2) всі спостереження незалежні одне від одного; 3) ймовірність успіху p однаково для кожного спостереження; і 4) кожне спостереження являє собою один із точно двох можливих результатів (звідси слово "двочлен" - подумайте "бінарний"). Ця остання кваліфікація відрізняє біноміальні розподіли від розподілів Пуассона, які змінюються постійно, а не дискретно.
Такий розподіл можна записати B (n, p).
Обчислення ймовірності даного спостереження
Скажімо, значення k лежить десь уздовж графіка біноміального розподілу, симетричного щодо середнього np. Для обчислення ймовірності того, що спостереження матиме це значення, це рівняння необхідно вирішити:
P (X = k) = (n: k) pк(1-р)(n-k)
де (n: k) = (n!) ÷ (k!) (n - k)!
Значок "!" означає факторіальну функцію, наприклад, 27! = 27 х 26 х 25 х ... х 3 х 2 х 1.
Приклад
Скажімо, баскетболіст виконує 24 штрафних кидки і має встановлений успіх 75 відсотків (p = 0,75). Які шанси вона вразить рівно 20 із 24 пострілів?
Спочатку обчисліть (n: k) наступним чином:
(n!) ÷ (k!) (n - k)! = 24! ÷ (20!) (4!) = 10 626
pк = (0.75)20 = 0.00317
(1-р) (n-k) = (0.25)4 = 0.00390
Таким чином, P (20) = (10 626) (0,00317) (0,00390) = 0,1314.
Таким чином, у гравця є 13,1 відсотка шансів зробити рівно 20 з 24 штрафних кидків, відповідно до того, що інтуїція може підказати про гравця, який зазвичай бив 18 з 24 вільних кидків (через встановлену успішність у 75 відсотків).