Евклідова відстань - це відстань між двома точками в евклідовому просторі. Простір Евкліда спочатку був розроблений грецьким математиком Евклідом близько 300 до н.е. вивчити зв’язки між кутами та відстанями. Ця система геометрії застосовується і сьогодні і є тією, яку найчастіше вивчають старшокласники. Евклідова геометрія спеціально стосується просторів двох та трьох вимірів. Однак це можна легко узагальнити до розмірів вищого порядку.
Обчисліть евклідову відстань для одного виміру. Відстань між двома точками в одному вимірі - це просто абсолютне значення різниці між їх координатами. Математично це показано як | p1 - q1 | де p1 - перша координата першої точки, а q1 - перша координата другої точки. Ми використовуємо абсолютне значення цієї різниці, оскільки вважається, що відстань має лише негативне значення.
Візьміть дві точки P і Q у двовимірному евклідовому просторі. Опишемо P з координатами (p1, p2) і Q з координатами (q1, q2). Тепер побудуйте відрізок прямої з кінцевими точками P і Q. Цей відрізок буде формувати гіпотенузу прямого трикутника. Розширюючи результати, отримані на кроці 1, зазначимо, що довжини ніжок цього трикутника задаються через | p1 - q1 | та | p2 - q2 |. Відстань між двома точками буде дана як довжина гіпотенузи.
Використовуйте теорему Піфагора для визначення довжини гіпотенузи на кроці 2. Ця теорема стверджує, що c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2, де c - довжина гіпотенузи правого трикутника, а a, b - довжини іншої дві ноги. Це дає нам c = (a ^ 2 + b ^ 2) ^ (1/2) = ((p1 - q1) ^ 2 + (p2 - q2) ^ 2) ^ (1/2). Відстань між двома точками P = (p1, p2) та Q = (q1, q2) у двовимірному просторі є ((p1 - q1) ^ 2 + (p2 - q2) ^ 2) ^ (1/2).
Розгорніть результати кроку 3 на тривимірний простір. Відстань між точками P = (p1, p2, p3) і Q = (q1, q2, q3) може бути подано у вигляді ((p1-q1) ^ 2 + (p2-q2) ^ 2 + (p3-q3) ^ 2) ^ (1/2).
Узагальніть розв’язок на кроці 4 для відстані між двома точками P = (p1, p2, ..., pn) та Q = (q1, q2, ..., qn) у n вимірах. Це загальне рішення можна дати як ((p1-q1) ^ 2 + (p2-q2) ^ 2 + ... + (pn-qn) ^ 2) ^ (1/2).