Зміст
Після того, як ви почнете розв’язувати алгебраїчні рівняння, що включають поліноми, можливість розпізнавати спеціальні форми поліномів, які легко фактуруються, стає дуже корисною. Одним з найкорисніших поліномів «легкого фактора», який можна помітити, є ідеальний квадрат, або тричлен, що виникає в результаті квадратування двочлена. Після того, як ви визначили ідеальний квадрат, його розподіл на окремі компоненти часто є важливою частиною процесу вирішення проблем.
Визначення ідеальних квадратних тричленів
Перш ніж ви зможете визначити ідеальний квадратний тричлен, ви повинні навчитися його розпізнавати. Ідеальний квадрат може приймати будь-яку з двох форм:
Деякі приклади ідеальних квадратів, які ви можете побачити в "реальному світі" математичних задач, включають:
Що є ключовим у визнанні цих ідеальних квадратів?
Перевірте перший і третій члени тричлена. Вони обидва квадрата? Якщо так, то з’ясуйте, якими вони є квадрати. Наприклад, у другому прикладі "реального світу", наведеному вище, у2 - 2_y_ + 1, термін у2 очевидно, площа у. Термін 1, можливо, менш очевидно, квадрат 1, тому що 12 = 1.
Помножте корені першого і третього доданків разом. Щоб продовжити приклад, Thats у і 1, який дає вам у × 1 = 1_y_ або просто у.
Далі помножте свій продукт на 2. Продовжуючи приклад, у вас є 2_y._
Нарешті, порівняйте результат останнього кроку із середнім членом многочлена. Вони відповідають? У многочлени у2 - 2_y_ + 1, вони роблять. (Знак не має значення; тощо. Також буде відповідність, якщо середній член був + 2_y_.)
Оскільки відповідь на етапі 1 була "так", а ваш результат із кроку 2 відповідає середньому члену многочлена, ви знаєте, що дивитесь на досконалий тричлен квадратного.
Фактор формування досконалого тричлена
Як тільки ви дізнаєтесь, що ви дивитесь на ідеальний квадратний тричлен, процес його факторингу є досить простим.
Визначте корені чи числа, що входять у квадрат, у першому та третьому доданках тричлену. Розглянемо ще один із прикладів тричленів, які ви вже знаєте, це ідеальний квадрат, х2 + 8_x_ + 16. Очевидно, що число, що знаходиться в квадраті в першому члені, є х. Число, яке в третьому члені складається з квадрата, дорівнює 4, оскільки 42 = 16.
Подумайте про формули ідеальних квадратних тричленів. Ви знаєте, що ваші фактори прийматимуть або форму (а + б)(а + б) або форму (а – б)(а – б), де а і б - це числа, розміщені в квадраті в першому та третьому доданках. Таким чином, ви можете таким чином виписати свої фактори, опустивши знаки в середині кожного терміна:
(а ? б)(а ? б) = а2 ? 2_ab_ + б2
Щоб продовжити приклад, замінивши корені поточного тричлену, у вас є:
(х ? 4)(х ? 4) = х2 + 8_x_ + 16
Перевірте середній член тричлена. Чи має він позитивний чи негативний знак (або, простіше кажучи, додається чи віднімається)? Якщо він має позитивний знак (або додається), то обидва фактори тричлена мають знак плюс в середині. Якщо він має негативний знак (або віднімається), обидва фактори мають негативний знак посередині.
Середній член поточного прикладу тричлена - 8_x_ - його позитив, - тож тепер ви врахували ідеальний квадратний тричлен:
(х + 4)(х + 4) = х2 + 8_x_ + 16
Перевірте свою роботу, помноживши два коефіцієнти разом. Застосування FOIL або перший, зовнішній, внутрішній, останній метод дає вам:
х2 + 4_x_ + 4_x_ + 16
Спрощення цього дає результат х2 + 8_x_ + 16, що відповідає вашому тричленню. Тож фактори є правильними.