Як знайти коріння многочлена

Зміст

• Скільки коренів?
• Попередження
• Знайдіть коріння за допомогою факторингу: Приклад 1
• Знайдіть коріння за допомогою факторингу: Приклад 2
• Знайдіть коріння за графіком

Коріння многочлена також називають його нулями, тому що корені - це х значення, при яких функція дорівнює нулю. Що стосується фактичного пошуку коріння, у вас є кілька методик; факторинг - це метод, який ви використовуєте найчастіше, хоча графічне використання також може бути корисним.

Скільки коренів?

Вивчіть член многочлена найвищого ступеня - тобто термін із найвищим показником. Цей показник - скільки коренів матиме многочлен. Отже, якщо найвищий показник у вашому многочлені - 2, він має два корені; якщо найвищий показник - 3, то він має три корені; і так далі.

Попередження

Знайдіть коріння за допомогою факторингу: Приклад 1

Найбільш універсальний спосіб пошуку коренів - максимально розподілити фактор вашого многочлена, а потім встановити кожен додаток, рівний нулю. Це має набагато більше сенсу, коли ви переглянете кілька прикладів. Розглянемо простий многочлен х² - 4_x: _

Короткий огляд показує, що ви можете зробити фактор х з обох доданків многочлена, що дає вам:

х(х – 4)

Встановіть кожен додаток на нуль. Це означає вирішення двох рівнянь:

х = 0 - перший додаток, встановлений на нуль, і

х - 4 = 0 - другий додаток, встановлений на нуль.

Ви вже маєте рішення на перший термін. Якщо х = 0, тоді весь вираз дорівнює нулю. Тому х = 0 - один із коренів або нулів многочлена.

Тепер розглянемо другий термін і вирішимо для х. Якщо ви додасте 4 з обох сторін, у вас буде:

х - 4 + 4 = 0 + 4, що спрощує:

х = 4. Тож якщо х = 4, то другий множник дорівнює нулю, що означає, що і весь многочлен дорівнює нулю.

Оскільки початковий многочлен був другого ступеня (найвищий показник - два), ви знаєте, що для цього многочлена є лише два можливі корені. Ви вже знайшли їх обох, тому все, що вам потрібно зробити, це перерахувати їх:

х = 0, х = 4

Знайдіть коріння за допомогою факторингу: Приклад 2

Ось ще один приклад того, як знайти коріння за допомогою факторингу, використовуючи якусь химерну алгебру на цьому шляху. Розглянемо многочлен х⁴ - 16. Швидкий погляд на його показники показує, що для цього многочлена має бути чотири корені; тепер прийшов час їх знайти.

Ви помітили, що цей многочлен можна переписати як різницю квадратів? Так замість х⁴ - 16, у вас є:

(х²)² – 4²

Який, використовуючи формулу для різниці квадратів, визначає наступне:

(х² – 4)(х² + 4)

Перший термін - це знову ж таки різниця квадратів. Отже, хоча ви не можете продовжувати фактор терміну праворуч, ви можете розмістити його вліво на один крок більше:

(х – 2)(х + 2)(х² + 4)

Тепер прийшов час знайти нулі. Швидко стає зрозуміло, що якщо х = 2, перший коефіцієнт буде дорівнює нулю, і, таким чином, весь вираз буде дорівнює нулю.

Так само, якщо х = -2, другий коефіцієнт буде дорівнює нулю, і таким чином, і весь вираз.

Тому х = 2 і х = -2 - це обидва нулі або корені цього многочлена.

Але що з цим останнім терміном? Оскільки він має показник "2", він повинен мати два корені. Але ви не можете розраховувати цей вираз, використовуючи реальні числа, до яких ви звикли. Вам доведеться використовувати дуже вдосконалене математичне поняття, яке називається уявними числами, або, якщо вам зручніше, складними числами. Це далеко виходить за межі вашої нинішньої математичної практики, тому поки що достатньо відзначити, що у вас є два реальних кореня (2 і -2) та два уявних коріння, які ви залишите невизначеними.

Знайдіть коріння за графіком

Ви також можете знайти або принаймні оцінити коріння за допомогою графіку. Кожен корінь являє собою місце, де графік функції перетинає х вісь. Тож якщо ви графікуєте рядок, а потім відзначаєте х координати, де лінія перетинає х осі, ви можете вставити оцінене х значення цих точок у вашому рівнянні та перевірте, чи правильно ви їх отримали.

Розглянемо перший приклад, який ти працював, для полінома х² - 4_х_. Якщо ви викреслите це обережно, ви побачите, що лінія перетинає х вісь у х = 0 і х = 4. Якщо ввести кожне з цих значень у вихідне рівняння, ви отримаєте:

0² - 4 (0) = 0, значить х = 0 був дійсним нулем або коренем для цього многочлена.

4² - 4 (4) = 0, значить х = 4 також є дійсним нулем або коренем для цього многочлена. А тому, що поліном був 2 ступеня, ви знаєте, що можете перестати шукати два корені.