Як фактор многочленів з дробами

Зміст

• Поліноми з визначеними дробами
• Основи факторингу - розподільна властивість та метод FOIL
• Кроки, які слід вжити при розбитті дробів з поліном
• Оцінка рівнянь за допомогою декомпозиції з частковим дробом
• Спростіть знаменник
• Переставити чисельник

Найкращий спосіб розподілити многочлени на дроби починається з зведення дробів до більш простих доданків. Поліноми представляють алгебраїчні вирази з двома або більше членами, точніше, сумою декількох доданків, які мають різні вирази однієї змінної. Стратегії, що сприяють спрощенню многочленів, включають факторизування найбільшого загального чинника з подальшим згрупуванням рівняння в найнижчі умови. Те ж саме справедливо навіть при розв’язуванні многочленів дробами.

Поліноми з визначеними дробами

У вас є три способи перегляду многочленів фрази з дробами. Перша інтерпретація стосується многочленів із дробами для коефіцієнтів. В алгебрі коефіцієнт визначається як число чи величина, знайдена перед змінною. Іншими словами, коефіцієнти для 7a, b і (1/3) c дорівнюють 7, 1 і (1/3) відповідно. Отже, два приклади поліномів з коефіцієнтами дробу:

(1/4) х² + 6x + 20, а також x² + (3/4) x + (1/8).

Друга інтерпретація "многочленів з дробами" стосується многочленів, що існують у формі дробу або співвідношення з чисельником і знаменником, де поліном чисельника ділиться на поліном знаменника. Наприклад, ця друга інтерпретація ілюструється:

(х² + 7x + 10) ÷ (x² + 11x + 18)

Третя інтерпретація, тим часом, стосується часткового розкладання фракції, також відомого як часткове розширення фракції. Іноді фракції поліномів є складними, так що, коли вони "розкладаються" або "розбиваються" на простіші терміни, вони подаються у вигляді сум, різниць, добутків або частки поліномних дробів. Для ілюстрації складна поліноміальна частка (8x + 7) ÷ (x² + x - 2) оцінюється шляхом часткового розкладання фракцій, яке, до речі, включає факторинг многочленів, бути + у найпростішій формі.

Основи факторингу - розподільна властивість та метод FOIL

Фактори представляють два числа, які при множенні разом становлять третє число. В алгебраїчних рівняннях факторинг визначає, які дві величини було помножено разом, щоб дійти до заданого многочлена. При множенні многочленів сильно дотримуються властивості розподілу. Властивість розподілу по суті дозволяє множити суму шляхом множення кожного числа окремо перед додаванням продуктів. Наприклад, спостерігайте за тим, як застосовується властивість розподілу на прикладі:

7 (10x + 5), щоб дійти до двочлена 70x + 35.

Але, якщо два біноми множити разом, то розширена версія властивості розподілу використовується методом FOIL. FOIL - це абревіатура для множення термінів Перший, Зовнішній, Внутрішній та Останній. Отже, факторинг поліномів тягне за собою виконання методу FOIL назад. Візьмемо два вищезгадані приклади з поліномами, що містять коефіцієнти фракції. Виконання методу FOIL назад на кожному з них призводить до факторів:

((1/2) x + 2) ((1/2) x + 10) для першого многочлена та множників:

(x + (1/4)) (x + (1/2)) для другого многочлена.

Приклад: (1/4) x² + 6x + 20 = ((1/2) x + 2) ((1/2) x + 10)

Приклад: x² + (3/4) x + (1/8) = (x + (1/4)) (x + (1/2))

Кроки, які слід вжити при розбитті дробів з поліном

Зверху поліноміальні дроби включають в числівник поліном, розділений на знаменник на многочлен. Оцінка дробів многочлену, таким чином, потребує факторизації полінома чисельника, а потім коефіцієнта множника знаменника. Це допомагає знайти найбільший загальний фактор, або GCF, між чисельником і знаменником. Як тільки GCF як чисельника, так і знаменника знайдений, він скасовує, зрештою, зменшуючи все рівняння на спрощені терміни. Розглянемо оригінальний приклад поліномальної фракції вище

(х² + 7x + 10) ÷ (x²+ 11х + 18).

Розділення факторів поліномів чисельника та знаменника для пошуку результатів GCF в:

÷, при цьому значення GCF (x + 2).

GCF як у чисельнику, так і в знаменнику скасовують один одного, щоб дати остаточну відповідь найнижчими термінами (x + 5) ÷ (x + 9).

Приклад:

х² + 7х + 10 (х + 2)(x + 5) (x + 5)

__ = ___ = __

х²+ 11х + 18 (х + 2)(x + 9) (x + 9)

Оцінка рівнянь за допомогою декомпозиції з частковим дробом

Часткове розкладання дробів, що включає факторинг, - це спосіб переписання складних рівнянь поліномних фракцій у більш просту форму. Перегляньте приклад зверху

(8x + 7) ÷ (x² + х - 2).

Спростіть знаменник

Спростіть знаменник, щоб отримати: (8x + 7) ÷.

8х + 7 8х + 7

__ = __

х² + х - 2 (х + 2) (х - 1)

Переставити чисельник

Далі переставити чисельник так, щоб він починав містити GCF в знаменнику, щоб отримати:

(3x + 5x - 3 + 10) ÷, який розширюється далі до {(3x - 3) ÷} + {(5x + 10) ÷}.

8x + 7 3x + 5x - 3 + 10 3x - 3 5x + 10

____ = ___ = ______ +

(x + 2) (x - 1) (x + 2) (x - 1) (x + 2) (x - 1) (x + 2) (x - 1)

Для лівого додавання GCF дорівнює (x - 1), тоді як для правого додавання GCF дорівнює (x + 2), які скасовуються в чисельнику та знаменнику, як видно з {+}.

3х - 3 5х + 10 3(х - 1) 5(х + 2)

___ + __ = ___ +

(x + 2) (x - 1) (x + 2) (x - 1) (x + 2)(х - 1) (х + 2)(х - 1)

Таким чином, коли GCF скасовують, остаточна спрощена відповідь - +:

3 5

__ + __ як розчин часткового розкладання фракції.

x + 2 x - 1