Як спростити складні числа

Зміст

• TL; DR (Занадто довго; Не читав)
• Що таке комплексне число?
• Основні правила алгебри зі складними числами
• Розділення складних чисел
• Спрощення складних чисел

Алгебра часто передбачає спрощення виразів, але деякі вирази мають більш заплутану справу, ніж інші. Складні числа включають кількість, відоме як i, "уявний" номер із властивістю i = √ − 1. Якщо ви маєте просто вираз із складним числом, це може здатися жахливим, але це досить простий процес, коли ви вивчите основні правила.

TL; DR (Занадто довго; Не читав)

Спростіть складні числа, дотримуючись правил алгебри зі складними числами.

Що таке комплексне число?

Комплексні числа визначаються шляхом включення їх до числа i термін, який є квадратним коренем мінус один. У математиці базового рівня квадратні корені від'ємних чисел насправді не існують, але вони час від часу виявляються в задачах з алгебри. Загальна форма для складного числа показує їх структуру:

z = а + бі

Де z мітки складного номера, а являє собою будь-яке число (яке називається "реальною" частиною); б являє собою інше число (яке називається "уявною" частиною), яке може бути позитивним чи негативним. Отже, приклад складного числа:

z = 2 −4_i_

Оскільки всі квадратні корені від’ємних чисел можуть бути представлені кратними о i, це форма для всіх складних чисел. Технічно звичайне число просто описує окремий випадок складного числа де б = 0, тому всі числа можна вважати складними.

Основні правила алгебри зі складними числами

Для складання і віднімання складних чисел просто додайте або віднімайте реальні та уявні частини окремо. Так для складних чисел z = 2 - 4_i_ і ш = 3 + 5_i_, сума дорівнює:

z + ш = (2 - 4_i_) + (3 + 5_i_)

=(2 + 3) + (−4 + 5)i

= 5 + 1_і_ = 5 + i

Віднімання чисел працює так само:

z − ш = (2 - 4_i_) - (3 + 5_i_)

= (2 − 3) + (−4 − 5)i

= −1 - 9_i_

Множення - це ще одна проста операція зі складними числами, оскільки вона працює як звичайне множення, окрім того, ви повинні це пам’ятати i² = −1. Отже, для обчислення 3_i_ × −4_i_:

3_i_ × −4_i_ = −12_i_²

Але з тих пір i²= −1, то:

−12_i_² = −12 ×−1 = 12

З повними комплексними номерами (використовуючи z = 2 - 4_i_ і ш = 3 + 5_i_ знову), ви помножите їх так само, як і зі звичайними числами (а + б) (c + г), використовуючи метод "перший, внутрішній, зовнішній, останній" (FOIL), щоб дати (а + б) (c + г) = змінного струму + до н.е. + оголошення + бд. Все, що вам потрібно пам'ятати, - це спростити будь-які випадки i². Так, наприклад:

z × ш = (2 - 4_i _) (3 + 5_i_)

= (2 × 3) + (−4_i_ × 3) + (2 × 5_i_) + (−4_i_ × 5_i_)

= 6 −12_i_ + 10_i_ - 20_i_²

= 6 −2_i_ + 20 = 26 + 2_i_

Розділення складних чисел

Поділ складних чисел включає множення чисельника та знаменника дробу на складний сполучник знаменника. Складний сполучник просто означає версію комплексного числа з уявною частиною, перевернутою в знак. Так для z = 2 - 4_i_, складний кон'югат z = 2 + 4_i_, і для ш = 3 + 5_i_, ш = 3 −5_i_. Для проблеми:

z / ш = (2 - 4_i_) / (3 + 5_i_)

Потрібний кон'югат є ш*. Розділіть чисельник і знаменник на це, щоб дати:

z / ш = (2 - 4_i_) (3 -5_i_) / (3 + 5_i _) (3 - 5_i_)

А потім ви працюєте, як у попередньому розділі. Чисельник дає:

(2 - 4_i_) (3 −5_i_) = 6 - 12_i_ - 10_i_ + 20_i_²

= −14 - 22_i_

І знаменник дає:

(3 + 5_i _) (3 - 5_i_) = 9 + 15_i_ - 15_i_ −25_i_²

= 9 + 25 = 34

Це означає:

z / ш = (−14 - 22_i_) / 34

= −14/34 - 22_i_ / 34

= −7/17 - 11_i_ / 17

Спрощення складних чисел

Використовуйте вищезазначені правила для спрощення складних виразів. Наприклад:

z = ((4 + 2_i_) + (2 - i)) ÷ ((2 + 2_i _) (2+ i))

Це можна спростити, використовуючи правило додавання в чисельнику, правило множення в знаменнику, а потім завершивши ділення. Для чисельника:

(4 + 2_i_) + (2 - i) = 6 + i

Для знаменника:

(2 + 2_i _) (2+ i) = 4 + 4_i_ + 2_i_ + 2_i_²

= (4 - 2) + 6_i_

= 2 + 6_i_

Якщо їх повернути на місце, ви отримуєте:

z = (6 + i) / (2 + 6_i_)

Помноження обох частин на сполучник знаменника призводить до:

z = (6 + i) (2 - 6_i_) / (2 + 6_i_) (2 - 6_i_)

= (12 + 2_i_ - 36_i_ −6_i_²) / (4 + 12_i_ - 12_i_ −36_i_²)

= (18 - 34_i_) / 40

= (9 - 17_i_) / 20

= 9/20 −17_i_ / 20

Так це означає z спрощує наступне:

z = ((4 + 2_i_) + (2 - i)) ÷ ((2 + 2_i _) (2+ i)) = 9/20 −17_i_ / 20