Зміст
- Визначення абсолютної ціннісної нерівності
- Як вирішити абсолютну ціннісну нерівність
- Абсолютні ціннісні нерівності без рішення
- Інтервальна нотація
Вирішення нерівностей абсолютних значень дуже схоже на рішення рівнянь абсолютних значень, але слід пам’ятати про кілька додаткових деталей. Це допомагає вже зручно вирішувати рівняння абсолютних значень, але добре, якщо ви теж навчите їх разом!
Визначення абсолютної ціннісної нерівності
Перш за все, ан абсолютна ціннісна нерівність - це нерівність, яка передбачає вираження абсолютного значення. Наприклад,
| 5 + х | - 10> 6 - абсолютна величина нерівності, оскільки вона має знак нерівності,> та вираз абсолютного значення, | 5 + х |.
Як вирішити абсолютну ціннісну нерівність
The кроки до вирішення абсолютної величини нерівності дуже схожі на кроки до вирішення рівняння абсолютного значення:
Крок 1: Виділіть вираз абсолютного значення на одній стороні нерівності.
Крок 2: Розв’яжіть позитивну "версію" нерівності.
Крок 3: Розв’яжіть негативну "версію" нерівності, помноживши величину на іншій стороні нерівності на −1 та перевернувши знак нерівності.
Це багато, щоб взяти все одночасно, так що ось приклад, який пройде вас по кроках.
Розв’яжіть нерівність для х: | 5 + 5_x_ | - 3> 2.
Для цього дістаньте | 5 + 5_x_ | сама по лівій стороні нерівності. Все, що вам потрібно зробити, - додати 3 в кожну сторону:
| 5 + 5_x_ | - 3 (+ 3)> 2 (+ 3)
| 5 + 5_x_ | > 5.
Зараз є дві "версії" нерівності, які нам потрібно вирішити: позитивна "версія" та негативна "версія".
Для цього кроку добре припустимо, що все є таким, яким вони здаються: 5 + 5_x_> 5.
| 5 + 5_x_ | > 5 → 5 + 5_x_> 5.
Це проста нерівність; ви просто повинні вирішити х як завжди. Відняти 5 з обох сторін, потім розділити обидві сторони на 5.
5 + 5_x_> 5
5 + 5_x_ (- 5)> 5 (- 5) (відняти п’ять з обох сторін)
5_x_> 0
5_x_ (÷ 5)> 0 (÷ 5) (розділити обидві сторони на п'ять)
х > 0.
Непогано! Тож одне можливе рішення нашої нерівності - це те х > 0. Тепер, оскільки тут беруть участь абсолютні значення, його час розглядає іншу можливість.
Щоб зрозуміти цей наступний шматочок, він допомагає запам'ятати, що означає абсолютне значення. Абсолютне значення вимірює відстань чисел від нуля. Відстань завжди позитивна, тому 9 - це дев'ять одиниць від нуля, але −9 - також дев'ять одиниць від нуля.
Отже | 9 | = 9, але | −9 | = 9.
Тепер повернемося до проблеми вище. Робота вище показала, що | 5 + 5_x_ | > 5; іншими словами, абсолютна величина «чогось» більша за п’ять. Тепер будь-яке позитивне число, що перевищує п’ять, буде далі від нуля, ніж п’ять. Тож першим варіантом було те, що "щось", 5 + 5_x_, більше 5.
Тобто: 5 + 5_x_> 5.
Такий сценарій, який розглядається вище, на кроці 2.
Тепер подумайте трохи далі. Що ще за п’ять одиниць від нуля? Ну, негативна п'ятірка є. І все, що далі за числовим рядком від негативної п’ятірки, буде ще далі від нуля. Таким чином, наше "щось" може бути від'ємним числом, яке відстає від нуля, ніж від мінус п'яти. Це означає, що це було б більш звучало число, але технічно менше, ніж негативна п’ять, тому що її переміщення в негативному напрямку на числовому рядку.
Тож наше "щось", 5 + 5х, може бути менше -5.
5 + 5_x_ <−5
Швидкий спосіб зробити це алгебраїчно - помножити кількість на іншій стороні нерівності 5 на від’ємну, а потім перевернути знак нерівності:
| 5 + 5х | > 5 → 5 + 5_x_ <- 5
Потім вирішуйте як завжди.
5 + 5_x_ <-5
5 + 5_x_ (−5) <−5 (- 5) (віднімаємо 5 з обох сторін)
5_x_ <−10
5_x_ (÷ 5) <−10 (÷ 5)
х < −2.
Тож два можливі рішення нерівності є х > 0 або х <−2. Перевірте себе, підключивши кілька можливих рішень, щоб переконатися, що нерівність все-таки зберігається.
Абсолютні ціннісні нерівності без рішення
Є сценарій, де він був би немає рішень абсолютної величини нерівності. Оскільки абсолютні значення завжди позитивні, вони не можуть бути рівними або меншими від'ємних чисел.
Отже | х | <−2 має рішення немає тому що результат вираження абсолютного значення повинен бути позитивним.
Інтервальна нотація
Щоб написати рішення на нашому головному прикладі в інтервальне позначення, подумайте, як виглядає рішення в рядку цифр. Наше рішення було х > 0 або х <−2. У рядку числа - це відкрита точка у 0, лінія простягається до позитивної нескінченності, а відкрита точка - −2, а лінія відходить до негативної нескінченності. Ці рішення спрямовані один від одного, а не один до одного, тому візьміть кожен шматок окремо.
Для x> 0 у числовому рядку є відкрита точка в нулі, а потім лінія, що проходить до нескінченності. В інтервальному позначенні відкрита точка ілюструється круглими дужками, (), а закрита точка або нерівності з ≥ або ≤ використовуватимуть дужки,. Так для х > 0, запишіть (0, ∞).
Друга половина, х <−2, у рядку числа - це відкрита точка на −2, а потім стрілка, яка простягається до ∞∞. У інтервальних позначеннях, що (−∞, −2).
"Або" в інтервальних позначеннях є знаком об'єднання, ∪.
Таким чином, рішення в інтервальних позначеннях є (−∞, −2) ∪ (0, ∞).