Зміст
- TL; DR (Занадто довго; Не читав)
- Про правильні трикутники
- Розв’язування спеціальних правильних трикутників
- Трикутник 30-60-90
- Трикутник 45-45-90
- Сторони і пропорції трикутника
В математиці та геометрії однією з навичок, яка виділяє експертів від претендентів, є знання хитрощів та ярликів. Час, який ви витрачаєте на їх навчання, окупається в часі, заощаджуючи при вирішенні проблем. Наприклад, варто знати два спеціальні правильні трикутники, які, як тільки ви їх розпізнаєте, можуть швидко вирішити. Зокрема, два трикутники - 30-60-90 та 45-45-90.
TL; DR (Занадто довго; Не читав)
Два спеціальних правильних трикутника мають внутрішні кути 30, 60 і 90 градусів і 45, 45 і 90 градусів.
Про правильні трикутники
Трикутники - це тристоронні багатокутники, внутрішні кути яких складають до 180 градусів. Правий трикутник - це особливий випадок, коли один з кутів дорівнює 90 градусам, тому два інші кути за визначенням повинні складати до 90. Синусоїда, косинус, дотична та інші тригонометричні функції забезпечують способи обчислення внутрішніх кутів правильних трикутників а також довжина їх боків. Ще одним незамінним інструментом обчислення правильних трикутників є теорема Піфагора, в якій говориться, що квадрат довжини гіпотенузи дорівнює сумі квадратів двох інших сторін, або c2 = а2 + b2.
Розв’язування спеціальних правильних трикутників
Коли ви працюєте над будь-якою проблемою з правильним трикутником, вам зазвичай дають принаймні один кут і одну сторону і просять обчислити залишилися кути та сторони. Використовуючи вищезгадану формулу Піфагора, ви можете обчислити довжину будь-якої сторони, якщо вам надано інші два. Великою перевагою спеціальних правильних трикутників є те, що пропорції довжин їх сторін завжди однакові, тому ви можете знайти довжину всіх сторін, якщо вам задано лише одну. Крім того, якщо вам подано лише одну сторону, а трикутник особливий, ви також можете знайти значення кутів.
Трикутник 30-60-90
Як випливає з назви, правильний трикутник 30-60-90 має внутрішні кути 30, 60 та 90 градусів. Як наслідок, сторони цього трикутника потрапляють у пропорції 1: 2: √3, де 1 і √3 - довжини протилежної та сусідньої сторін, а 2 - гіпотенуза. Ці числа завжди йдуть разом: якщо ви вирішите сторони прямокутного трикутника і виявите, що вони відповідають малюнку, 1, 2, √3, ви знаєте, що кути становитимуть 30, 60 та 90 градусів. Так само, якщо вам задано один із кутів як 30, ви знаєте, що інші два - 60 і 90, а також, що сторони матимуть пропорції 1: 2: √3.
Трикутник 45-45-90
Трикутник 45-45-90 працює так само, як 30-60-90, за винятком того, що два кути рівні, як і протилежна та сусідня сторони. Він має внутрішні кути 45, 45 і 90 градусів. Пропорції сторін трикутника дорівнюють 1: 1: √2, при цьому частка гіпотенузи дорівнює √2. Інші дві сторони однакові за довжиною. Якщо ви працюєте над правим трикутником, а один із внутрішніх кутів становить 45 градусів, ви вмить знаєте, що кут, що залишився, також повинен бути 45 градусів, тому що весь трикутник повинен дорівнювати 180 градусам.
Сторони і пропорції трикутника
Розв’язуючи два спеціальних правильних трикутника, майте на увазі, що це пропорції важливих сторін, а не їх вимірювання в абсолютних показниках. Наприклад, у трикутника є сторони, які вимірюють 1 фут, 1 фут і √2 фути, тож ви знаєте, що це трикутник 45-45-90 і має внутрішні кути 45, 45 і 90 градусів.
Але що ви робите з правильним трикутником, сторони якого вимірюють √17 футів і √17 футів? Пропорції сторін є ключовими. Оскільки обидві сторони однакові, пропорція дорівнює 1: 1 одна з одною, а оскільки це правильний трикутник, частка гіпотенузи дорівнює 1: with2 з будь-якою з інших сторін. Рівні пропорції підказують, що сторони дорівнюють 1, 1, √2, що належить лише спеціальному трикутнику 45-45-90. Щоб знайти гіпотенузу, помножте √17 на √2, щоб отримати √34 фути.