Як знайти експоненціальне рівняння з двома точками

Зміст

• Чому важливі експоненціальні функції
• Від пари точок до графіка
• Одна точка на осі X
• Ні точка на осі X
• Приклад із реального світу

Якщо ви знаєте дві точки, які падають на певну експоненціальну криву, ви можете визначити криву, вирішивши загальну експоненціальну функцію за допомогою цих точок. На практиці це означає підстановку точок для y і x в рівняння y = ab^х. Процедура легша, якщо значення x для однієї з точок дорівнює 0, а значить, точка знаходиться на осі y. Якщо жодна точка не має нульового значення x, процес розв’язування для x і y є складніше.

Чому важливі експоненціальні функції

Багато важливих систем дотримуються експоненціальних закономірностей зростання та занепаду. Наприклад, кількість бактерій у колонії зазвичай збільшується експоненціально, а навколишнє випромінювання в атмосфері після ядерної події зазвичай зменшується в експоненціальному вимірі. Беручи дані та будуючи криву, вчені вигідніші для прогнозування.

Від пари точок до графіка

Будь-яку точку на двовимірному графі можна представити двома числами, які зазвичай записуються у формі (x, y), де x визначає горизонтальну відстань від початку і y - вертикальну відстань. Наприклад, точка (2, 3) - це дві одиниці праворуч від осі y і три одиниці вище осі x. З іншого боку, точка (-2, -3) - це дві одиниці зліва від осі у. і три одиниці нижче осі x.

Якщо у вас є дві точки, (x₁, у₁) і (х₂, у₂), можна визначити експоненціальну функцію, яка проходить через ці точки, замінивши їх у рівняння y = ab^х і розв’язування для a і b. Загалом, ви повинні вирішити цю пару рівнянь:

у₁ = аб^х1 і у₂ = аб^х2, .

У такому вигляді математика виглядає дещо складною, але це виглядає менш так, коли ви зробили кілька прикладів.

Одна точка на осі X

Якщо одне із значень x - скажіть x₁ - дорівнює 0, операція стає дуже простою. Наприклад, розв’язуючи рівняння для точок (0, 2) та (2, 4), виходить:

2 = ab⁰ і 4 = ab². Оскільки ми знаємо, що b⁰ = 1, перше рівняння стає 2 = а. Підставлення a у другому рівнянні дає 4 = 2b², яку ми спростимо до b² = 2, або b = квадратний корінь 2, що дорівнює приблизно 1,41. Визначальною є функція у = 2 (1,41)^х.

Ні точка на осі X

Якщо жодне значення x не дорівнює нулю, розв’язування пари рівнянь трохи громіздкіше. Генохмат проводить нас через простий приклад для уточнення цієї процедури. У своєму прикладі він обрав пару балів (2, 3) та (4, 27). Виходить така пара рівнянь:

27 = ab⁴

3 = ab²

Якщо ділити перше рівняння на друге, ви отримаєте

9 = b²

тому b = 3. Можливо, щоб b також дорівнює -3, але в цьому випадку припустимо його позитивне.

Ви можете замінити це значення b в будь-якому рівнянні, щоб отримати а. Простіше використовувати друге рівняння, тому:

3 = а (3)² які можна спростити до 3 = a9, a = 3/9 або 1/3.

Рівняння, яке проходить через ці точки, можна записати як у = 1/3 (3)^х.

Приклад із реального світу

З 1910 р. Приріст людського населення був експоненціальним, і, побудувавши криву зростання, вчені можуть вигідніше прогнозувати та планувати майбутнє. У 1910 році населення світу становило 1,75 мільярда, а в 2010 році - 6,87 мільярда. Беручи 1910 р. Як вихідну точку, це дає пари точок (0, 1,75) та (100, 6,87). Оскільки x-значення першої точки дорівнює нулю, ми можемо легко знайти a.

1,75 = ab⁰ або a = 1,75. Підключення цього значення разом із значеннями другої точки до загального експоненціального рівняння дає 6,87 = 1,75b¹⁰⁰, що дає значення b як сотого кореня 6,87 / 1,75 або 3,93. Так стає рівняння у = 1,75 (сотий корінь 3,93)^х. Хоча для цього потрібно більше, ніж правило слайдів, вчені можуть використовувати це рівняння для проектування чисельності населення в майбутньому, щоб допомогти політикам в даний час створити відповідну політику.